你花时间写、交朋友、挖八卦，还用剩下的时间来亲自建立。但悲哀的是，尽管做了这么多努力，你的朋友可能还是比你大多数朋友少。但不要绝望，我们大多数人都是这样。一般来说我们的朋友比我们受欢迎。
不相信？想想最近Johan Ugander、Brian Karrer、Lars Backstrom 、Cameron Marlow最近写的有关Facebook的论文吧。（信息披露：Ugander是康奈尔的学生，我是他博士论文答辩委员会成员。）他们调查了 Facebook上所有的活跃用户（当时为7.21亿人，约为世界人口的10%），其中共有690亿对好友关系。研究人员研究了用户们的数量与其朋友的朋友数量，发现93%的用户的朋友数量低于他朋友的朋友数量的平均值。之后，他们从整体上对Facebook进行了研究，发现平均一个用户有190个朋友，而他们的朋友平均有635个朋友。
对线下社交网络的研究也发现了同样的趋势。这与每个人的性格无关，只是一个基本的算数问题。一个人朋友的朋友平均数量总是大于这个人朋友的数量。只要社交网络有人朋友多有人朋友少，这条定理就必然存在。
这一现象被称之为好友悖论，其根本原因是一种在很多其他情况下都会出现数学模型（一种特别的“加权平均数“模型”）。了解了这种模型能帮你化解一些生活中的小烦恼。
比如说你现在走进了一家健身房。看看周围，是不是觉得好像每个人的身材都比你好？恩，你也许是对的，但这种情况无法避免而且完全不需要因此觉得惭愧。如果你只是一个普通的健身房会员，根据预期你就应该看到这样的场景，因为那些大汗淋漓喘着粗气的人不代表平均值。他们是那种会花时间在健身房的类型，所以你才会第一眼就看到他们。那些沙发土豆正窝在家里你没法把他们算在内。换句话说，你所取的健身馆会员这个样本不具有代表性，它其中健身迷的比例偏多。
这也解释了为何人们总觉得机场、餐馆、公园、海滩的拥挤程度总大于实际统计的平均值。这些地方没人的时候，没有人在场见证它们的空空如也。
加权平均数是用在这些情况下自然会用到的方法。这里有个例子来说明全球教育界如何说明自己的运行状况。比如一个教授教两个班，一个是面向90名新生的基础课程，另一个是有十个高年级学生的高级研习班。这个教授平均一个班有多少人？
学校大概会说50个人，因为 (90 + 10)/2 = 50。教授也会同意这种算法。这种算法默认两个班是一样的，一般平均数都是这么算的：把总数的一半分到90个人的班，再把另一半分到10个人的班，得到的数量正好在两者的中间。这种算法没错，不过在这种情况下有些误导性。
想要了解其中的原因，就从学生的角度来思考一下这个问题。大多数学生（100个学生中有90人）发现自己坐在有90人的大班级里，只要十个人体验过10个人的课堂。当然这必然会让学生眼里的平均数更接近90而不是10，因此也会高于50.
为了计算学生眼里的平均数，假设我们在每个班让每个人进行投票。如果你问他们“你们班有多少人？”，90个学生会回答“90”还有10个会回答“10”。他们答案的总数为：（90×90）+(10×10)=8200.
由于总共有90 + 10 = 100名学生，他们感觉平均班级的大小等于8,200/100=82，这比学校广告里说的平均50人的班级要大很多。
我希望你们注意这一模式（请把这一模式刻在神经里，我们之后还需要用到它们）。在这一模式里，90和10各自扮演了两个角色。正因如此在计算学生眼里的平均数的算式里出现了两个90两个10.
每个数字用两次这一模型将是我们理解好友悖论的关键所在。
下面详细讲解一个小例子，这样最能说明社交网络中的这个模式了。（我所说的任何内容都不依赖特定网络结构。只要网络中每个人朋友的数量有多有少，这一结果都会出现。我挑这个小网络只是想算起来容易一点。）
在这个案例中，Abby, Becca, Chloe和Deb是四个高中生，连线代表连互为好友。如果两个人都视对方为好友，她们之间就会连起来。
Becca是Abby唯一的好友，她是个小交际花，和每个人都是朋友。Chole和Deb是朋友，她们也是Becca的朋友。因此Abby有一个朋友，Becca有三个，Chole和Deb各有两个，加起来共有8个朋友。由于共有4个人，平均每个人有2个朋友。
2这个平均数代表好友悖论里平均每个人的朋友数量。记住，好友悖论声称这个数量比平均朋友的朋友数量小，但真实如此吗？这个问题有点让人是因为这句话念起来比较拗口。不停的说或者写或者想“朋友的朋友”很容易感到。为了避免这种情况，我们用朋友的“分数”来表示朋友的朋友的数量。所有问题就成了：“你的圈子里所有朋友的平均分是多少？”
假设每个女孩都会喊出她的朋友的分数，一名记录员会等在一旁记录下这些分数的平均值。
Abby:“Becca得了三分。”
Becca:“Abby一分，Chloe两分，Deb两分。”
Chloe:“Becca三分，Deb两分。”
Deb: “Becca三分，Chloe两分。”
把这些分数加起来3 + 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2，等于18。由于一共有八个分数，因此平均值是18除以8，等于2.25。
注意2.25比2大。看来朋友平均分分数的确比女孩自己的高。正因如此好友悖论的理论才会是真的。
关键在于这一现象为什么会发生。这是因为Becca这样受欢迎的人不仅分数高，被朋友提到的次数也多，因此对平均分的贡献不成比例的高。看看Becca是怎么样把平均数变成18的吧：Abby被提到了一次，因为她的得分是1（只被一个朋友提到），因此她对总分的贡献是1×1；Becca被提到了三次因为她的分数是3，因此她的贡献是3X3；Chloe和Deb都被提到了两次，每次贡献两分，因此为总分贡献了2×2。所以这四个人的总分是(1 x 1) + (3 x 3) + (2 x 2) + (2 x 2)，而相应的平均分是：
这是1,3,2,2这四个数的加权平均分，这种每个数用两次的模式在班级规模的问题中也一样存在。看看上面的算式你就明白了。每个人的得分乘以自己了一次然后才相加。这个平方的做法令大数字所占的比重更多重（就像上面的例子中Becca的3分一样），平均分也因此提高了。
正因如此，我们会直观感觉自己朋友的朋友比自己的朋友多。朋友的分数是平方后的加权平均数，因此总是比没有以这种方式加权的自己的分数高。
一旦发现了这种结构，其他定律的证明也就变成了普通的数学问题。
与很多美好的数学思想一样，好友悖论也有很多令人振奋的实际应用，这些是其发现者未曾预见的。最近根据好友悖论建立了一个早期报警系统以预防流行病爆发。
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